¿Alguna vez te has preguntado si existe una forma de predecir el comportamiento de un fenómeno complejo? Si es así, entonces estás en el lugar correcto. En este artículo, exploraremos el fascinante mundo de la regresión no lineal, una técnica estadística que nos permite modelar relaciones no lineales entre variables. Descubriremos cómo esta herramienta estadística puede ayudarnos a entender mejor los datos y predecir el futuro. ¡Prepárate para sumergirte en el apasionante mundo de la regresión no lineal!
Un modelo matemático que utiliza una línea generada para ajustar una ecuación a datos específicos.
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¿Qué es la regresión no lineal?
La regresión no lineal es un modelo matemático que utiliza una línea generada para ajustar una ecuación a datos específicos. Al igual que la regresión lineal, que utiliza una ecuación en línea recta (por ejemplo, Ỵ= c + mx), la regresión no lineal muestra una asociación mediante una curva, lo que la hace no lineal en el parámetro.
Un modelo de regresión no lineal simple se expresa de la siguiente manera:
Y = f(X,β) + ϵ
Dónde:
- X es un vector de predictores P
- b es un vector de k parámetros
- F (-) es la conocida función de regresión
- ϵ es el término de error
Alternativamente, el modelo también se puede escribir de la siguiente manera:
YI =h [xi(1) , xi(2), … , xi(m) ; Ѳ1, Ѳ2, …, Ѳp] + miI
Dónde:
- YI es la variable responsiva
- h es la función
- X es la entrada
- Ѳ es el parámetro a estimar
Dado que cada parámetro se puede evaluar para determinar si es lineal o no lineal, una función dada es YI puede contener una combinación de parámetros lineales y no lineales. La función h en el modelo se tiene en cuenta porque no se puede escribir como lineal en los parámetros. En cambio, la función se deriva de la teoría.
El término «no lineal» se refiere a los parámetros del modelo y no a las variables independientes. Hay posibilidades ilimitadas para describir la parte determinista del modelo. Esta flexibilidad proporciona una buena base para sacar conclusiones estadísticas.
El objetivo del modelo es utilizar métodos numéricos iterativos para mantener la suma de cuadrados lo más baja posible. La mejor estimación de los parámetros del modelo son los mínimos cuadrados, que miden cuántas observaciones se desvían de la media del conjunto de datos. También vale la pena señalar que la diferencia entre los modelos de regresión lineal y no lineal radica en el cálculo de mínimos cuadrados.
Resumen
- La regresión no lineal es una función matemática que utiliza una línea generada (generalmente una curva) para ajustar una ecuación a algunos datos.
- La suma de cuadrados se utiliza para determinar la idoneidad de un modelo de regresión, que se calcula calculando la diferencia entre la media y cada punto de datos.
- Se utilizan modelos de regresión no lineal debido a su capacidad para acomodar diferentes funciones medias.
Cómo calcular la suma de cuadrados
La suma de cuadrados se calcula calculando primero la diferencia entre cada punto de datos y la media en un conjunto de datos. Luego, cada diferencia se eleva al cuadrado antes de sumar todos los números al cuadrado. La suma de cuadrados determina cómo un modelo se ajusta mejor a los datos. Convencionalmente, cuanto menor sea la suma de los valores cuadrados, mejor se ajustará el modelo al conjunto de datos.
Para estimar qué tan bien se ajusta la curva, la bondad del ajuste debe determinarse utilizando los mínimos cuadrados calculados. Se basa en la idea de que el tamaño de la diferencia entre la curva y los conjuntos de datos determina qué tan bien se ajusta la curva a los datos.
La similitud entre la regresión lineal y no lineal es que ambos modelos intentan determinar gráficamente la solidez de la previsibilidad en función de un conjunto de variables. Sin embargo, desarrollar un modelo no lineal es más difícil porque su función es iterativa y se crea mediante una serie de pruebas y errores. Varios métodos establecidos, como Levenberg-Marquardt y Gauss-Newton se utilizan para desarrollar modelos no lineales.
Normalmente, un modelo de regresión lineal parece no lineal a primera vista. Un enfoque de estimación de curvas identifica el tipo de relación funcional en juego en un conjunto de datos. Esto significa que, dependiendo del tipo de relación funcional, el modelo de regresión lineal o no lineal es aplicable como modelo correcto.
Si bien un modelo de regresión lineal forma una línea recta, también puede producir curvas según la forma de su ecuación. De manera similar, una ecuación de regresión no lineal se puede transformar usando álgebra para imitar una ecuación de regresión lineal.
Aplicaciones de la regresión no lineal
En general, se utiliza un modelo de regresión no lineal para tener en cuenta diferentes funciones medias, aunque es menos flexible que un modelo de regresión lineal. Sus ventajas incluyen previsibilidad, parsimonia e interpretabilidad. La previsión financiera es una forma de aplicar la regresión no lineal.
Un diagrama de dispersión de los cambios en los precios financieros a lo largo del tiempo muestra una relación entre los cambios de precios y el tiempo. Dado que la relación no es lineal, el mejor modelo a utilizar es un modelo de regresión no lineal.
Un modelo logístico de cambio de precios puede proporcionar estimaciones de precios de mercado no medidos y un pronóstico de cambios futuros en los precios de mercado. La mayoría de las series temporales financieras y macroeconómicas presentan diferentes características a lo largo del tiempo según el estado de la economía.
A modo de ejemplo, recesiones versus expansiones, mercados alcistas y bajistas, o volatilidad baja versus alta son algunos de los regímenes duales que requieren modelos no lineales en los datos de series temporales económicas. Estas series temporales no lineales que adoptan regímenes duales, comúnmente denominadas modelos dependientes del estado, incluyen modelos como el de cambio de régimen, el suave y el de umbral.
La especificación y descripción precisas de la relación entre las variables dependientes e independientes garantiza resultados precisos de una regresión no lineal. Además, dado que unos valores iniciales deficientes pueden dar como resultado un modelo no convergente, se requieren buenos valores iniciales. Más comúnmente, la regresión no lineal utiliza una variable cuantitativa dependiente o independiente.
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