Modelos de precios de opciones

¿Qué son los modelos de valoración de opciones?

Los modelos de valoración de opciones son modelos matemáticos que utilizan ciertas variables para calcular el valor teórico de una opción. El valor teórico de una opción es una estimación de lo que debería valer una opción utilizando todos los insumos conocidos. En otras palabras, los modelos de valoración de opciones nos dan un valor razonable de una opción. Cuando los profesionales financieros conocen la estimación del valor razonable de una opción, pueden ajustar sus estrategias comerciales y carteras. Por lo tanto, los modelos de valoración de opciones son herramientas poderosas para los profesionales financieros involucrados en el comercio de opciones.

¿Qué es una opción?

Una definición formal de opción establece que es un tipo de contrato entre dos partes que otorga a una de ellas el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender el activo subyacente a un precio predeterminado antes o en la fecha de vencimiento. Hay dos tipos principales de opciones: llamadas y ventas.

• Llamar Es un contrato de opciones que le otorga el derecho, pero no la obligación, de comprar el activo subyacente a un precio predeterminado antes o en la fecha de vencimiento.
• Colocar Es un contrato de opciones que le otorga el derecho, pero no la obligación, de vender el activo subyacente antes o al vencimiento a un precio predeterminado.

Las opciones también se pueden clasificar según su tiempo de ejercicio:

• opciones de estilo europeo Sólo podrá ejercitarse en la fecha de vencimiento.
• opciones de estilo americano Puede ejercerse en cualquier momento entre la compra y la fecha de vencimiento.

La clasificación de opciones anterior es extremadamente importante porque la elección entre opciones europeas o americanas afecta nuestra elección del modelo de valoración de opciones.

Probabilidad neutral al riesgo

Antes de comenzar a analizar varios modelos de valoración de opciones, debemos comprender el concepto de probabilidades neutrales al riesgo, que se utilizan ampliamente en la valoración de opciones y pueden aparecer en varios modelos de valoración de opciones.

La probabilidad neutral al riesgo es una probabilidad teórica de resultados futuros ajustados al riesgo. Hay dos supuestos principales detrás de este concepto:

1. El valor actual de un activo es su rendimiento esperado, descontado a la tasa libre de riesgo.
2. No hay oportunidades de arbitraje en el mercado.

La probabilidad neutral al riesgo es la probabilidad de que el precio de las acciones aumente en un mundo neutral al riesgo. Sin embargo, no asumimos que todos los inversores en el mercado sean neutrales al riesgo ni que las inversiones de alto riesgo logren un rendimiento libre de riesgo. Este valor teórico mide la probabilidad de comprar y vender los activos como si existiera una probabilidad única para todo en el mercado.

Modelo de valoración de opciones binomiales

El método más simple para valorar opciones es utilizar un modelo binomial de valoración de opciones. Este modelo supone mercados perfectamente eficientes. Bajo este supuesto, el modelo puede evaluar la opción en cualquier momento de un período de tiempo determinado.

En el modelo binomial, asumimos que el precio del activo subyacente aumentará o disminuirá durante el período determinado. Dados los posibles precios del activo subyacente y el precio de ejercicio de una opción, podemos calcular el pago de la opción en estos escenarios, luego descontar esos pagos y determinar el valor de esa opción a partir de hoy.

Figura 1. Árbol binomial de dos períodos

Modelo negro-Scholes

El modelo de Black-Scholes es otro modelo de valoración de opciones comúnmente utilizado. Este modelo fue descubierto en 1973 por los economistas Fischer Black y Myron Scholes. Tanto Black como Scholes recibieron el Premio Nobel de Economía por su descubrimiento.

El modelo Black-Scholes se desarrolló principalmente para evaluar opciones europeas sobre acciones. El modelo se basa en ciertos supuestos sobre la distribución del precio de las acciones y el entorno económico. Los supuestos sobre la distribución del precio de las acciones incluyen:

• Los rendimientos de las acciones continuamente compuestos se distribuyen normalmente y son independientes del tiempo.
• La volatilidad de los rendimientos compuestos continuamente es conocida y constante.
• Los dividendos futuros se conocen (como cantidad en dólares o como rendimiento de dividendo fijo).

Los supuestos sobre el entorno económico son:

• La tasa de interés libre de riesgo es conocida y constante.
• No hay costos de transacción ni impuestos.
• Es posible realizar ventas en descubierto de forma gratuita y pedir prestado a un tipo de interés libre de riesgo.

Sin embargo, estos supuestos pueden flexibilizarse y adaptarse a circunstancias específicas si fuera necesario. Además, podríamos utilizar fácilmente este modelo para crear opciones sobre activos distintos de acciones (monedas, Futuros).

Las variables clave utilizadas en el modelo Black-Scholes incluyen:

• Precio del activo subyacente (S) es el precio de mercado actual del activo
• Precio de ejercicio (K) Es el precio al que se puede ejercer una opción.
• Volatilidad (σ) es una medida de la fuerza con la que se moverán los precios de los valores en períodos posteriores. La volatilidad es el dato más difícil en el modelo de valoración de opciones porque la volatilidad histórica no es el dato más confiable para este modelo.
• Tiempo hasta el vencimiento (T) es el tiempo entre el cálculo y la fecha de ejercicio de una opción
• tasa de interés (r) es una tasa de interés libre de riesgo
• rentabilidad por dividendo (δ) originalmente no era el insumo principal del modelo. El modelo original de Black-Scholes se desarrolló para fijar el precio de opciones sobre acciones que no pagan dividendos.

Del modelo de Black-Scholes podemos derivar las siguientes fórmulas matemáticas para calcular el valor razonable de las opciones call y put europeas:

Las fórmulas anteriores utilizan las probabilidades ajustadas al riesgo. Dakota del Norte₁) es la probabilidad ajustada por riesgo de recibir la acción al vencimiento de la opción, dependiendo de si la opción termina en dinero. Dakota del Norte₂) es la probabilidad ajustada por riesgo de que se ejerza la opción. Estas probabilidades se calculan utilizando la distribución normal acumulada de los factores. D₁ Y D₂.

El modelo de Black-Scholes se utiliza principalmente para calcular el valor teórico de las opciones europeas y no se puede aplicar a las opciones americanas, ya que deben ejercerse antes de la fecha de vencimiento.

simulación del Monte Carlo

La simulación de Monte Carlo es otro modelo de valoración de opciones que consideraremos. La simulación Monte Carlo es un método más sofisticado para evaluar opciones. En este método, simulamos los posibles precios futuros de las acciones y luego los utilizamos para determinar los pagos esperados descontados de las opciones.

En este artículo, discutiremos dos escenarios: simulación en modelo binomial con muchos períodos y simulación en tiempo continuo.

escenario 1

En el marco del modelo binomial, consideramos las variantes cuando el precio del activo (acción) sube o baja. En la simulación, primero determinamos los shocks de crecimiento en el precio de las acciones. Esto se puede hacer a través de las siguientes fórmulas:

h en estas fórmulas es la duración de un período y h = T/N y N es un número de períodos.

Después de determinar los precios futuros de los activos para todos los períodos de tiempo requeridos, determinamos el pago de la opción y lo descontamos al valor presente. Necesitamos repetir los pasos anteriores varias veces para obtener resultados más precisos y luego promediar todos los valores presentes determinados para encontrar el valor razonable de la opción.

Escenario 2

En el tiempo continuo hay un número infinito de puntos en el tiempo entre dos puntos en el tiempo. Por lo tanto, cada variable tiene un valor específico en cada momento.

En este escenario, utilizamos el movimiento browniano geométrico del precio de las acciones, lo que implica que las acciones siguen un camino aleatorio. El paseo aleatorio significa que los precios futuros de las acciones no se pueden predecir en función de tendencias históricas porque los cambios de precios son independientes entre sí.

En el modelo de movimiento browniano geométrico, podemos dar la fórmula para el cambio en el precio de las acciones:

Dónde:

S- precio de mercado

ΔS – Cambio en el precio de las acciones.

µ – rendimiento esperado

t – Tiempo

σ – Desviación estándar de los rendimientos de las acciones

↋ – variable aleatoria µ

A diferencia de la simulación en un modelo binomial, en la simulación de tiempo continuo no necesitamos simular el precio de las acciones en cada período, pero sí necesitamos determinar el precio de las acciones al vencimiento. CALLE)usando la siguiente fórmula:

Generamos el número aleatorio. ↋ y resolver CALLE). Entonces el proceso es similar al que hicimos para la simulación en el modelo binomial: encontrar el pago de la opción al vencimiento y descontarlo al valor presente.

Recursos adicionales

Gracias por leer la guía de Finanzas sobre modelos de valoración de opciones. Para avanzar aún más en su carrera, los siguientes recursos adicionales de CFI le resultarán útiles: