La distribución binomial es un concepto fundamental en la teoría de probabilidades que tiene una gran aplicación en diversas áreas, desde la estadística hasta la ingeniería. En este artículo, exploraremos en detalle qué es la distribución binomial, cómo se aplica y qué ventajas ofrece en el análisis de datos. Si te apasiona el mundo de la probabilidad y estás interesado en saber cómo calcular la probabilidad de eventos binomiales, ¡has llegado al lugar correcto! Prepárate para sumergirte en el fascinante mundo de la distribución binomial y descubrir sus múltiples aplicaciones en el mundo real.
Una distribución de probabilidad general que modela la probabilidad de obtener uno de dos resultados dado un número determinado de parámetros.
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¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial es una distribución de probabilidad general que modela la probabilidad de obtener uno de dos resultados dado un número determinado de parámetros. Resume el número de intentos donde cada intento tiene las mismas posibilidades de lograr un resultado específico. El valor de un binomio se obtiene multiplicando el número de intentos independientes por los éxitos.
Por ejemplo, si lanzas una moneda, la probabilidad de obtener cara es 0,5. Para 50 ensayos, el valor esperado del número de caras es 25 (50 x 0,5). La distribución binomial se utiliza en estadística como elemento básico para variables dicotómicas, como la probabilidad de que el candidato A o B obtenga el primer lugar en los exámenes intermedios.
Puntos clave
- La distribución binomial es una distribución de probabilidad que representa el número de ensayos en los que cada ensayo tiene la misma probabilidad de lograr un resultado particular.
- Se calcula multiplicando el número de intentos independientes por la probabilidad de éxito.
- Para utilizar la fórmula de distribución binomial, deben estar presentes varias reglas en el procedimiento.
Criterios de distribución binomial
La distribución binomial modela la probabilidad de que ocurra un evento si se cumplen ciertos criterios. La distribución binomial tiene las siguientes reglas que deben estar presentes en el proceso para utilizar la fórmula de probabilidad binomial:
1. Pruebas fijas
El proceso en estudio debe tener un número fijo de intentos, que no se puede cambiar durante el transcurso del análisis. Durante el análisis, cada prueba debe realizarse de la misma manera, aunque cada prueba puede producir un resultado diferente.
En la fórmula de probabilidad binomial, el número de intentos está representado por la letra “n”. Un ejemplo de intento fijo podría ser lanzamientos de moneda, tiros libres, giros de rueda, etc. El número de intentos realizados se conoce desde el principio. Si se lanza una moneda diez veces, cada lanzamiento de moneda es un intento.
2. Estudios independientes
La otra condición de la probabilidad binomial es que las pruebas sean independientes entre sí. En pocas palabras: el resultado de un intento no debería influir en el resultado de los intentos posteriores.
Cuando se utilizan ciertos métodos de muestreo, existe la posibilidad de que los ensayos no sean completamente independientes entre sí, y la distribución binomial solo puede usarse cuando el tamaño de la población es grande en relación con el tamaño de la muestra.
Un ejemplo de pruebas independientes podría ser lanzar una moneda o un dado. En un lanzamiento de moneda, el primer evento es independiente de los eventos posteriores.
3. Probabilidad fija de éxito
Con una distribución binomial, la probabilidad de éxito de los intentos que examinamos debe seguir siendo la misma. Por ejemplo, si lanzamos una moneda, la probabilidad de lanzarla en cada intento que hagamos es ½ o 0,5 porque solo hay dos resultados posibles.
Para algunas técnicas de muestreo, como el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de éxito de cada ensayo puede variar de un ensayo a otro. Por ejemplo, digamos que en una población de 1.000 estudiantes hay 50 niños. La probabilidad de seleccionar un niño de esta población es 0,05.
En el próximo experimento habrá 49 niños entre 999 estudiantes. La probabilidad de elegir un niño en la siguiente prueba es 0,049. Muestra que en ensayos posteriores la probabilidad de un ensayo a otro diferirá ligeramente de la del ensayo anterior.
4. Dos resultados mutuamente excluyentes
En la probabilidad binomial sólo hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso. Si bien el éxito es generalmente un término positivo, también puede usarse para significar que el resultado del intento es consistente con lo que usted ha definido como éxito, ya sea un resultado positivo o negativo.
Por ejemplo, si una empresa recibe un envío de lámparas con muchos fragmentos, la empresa puede definir la prueba como un éxito para cualquier lámpara en la que el cristal esté roto. Se puede definir una falla si las lámparas no tienen lentes rotos.
En nuestro ejemplo, los casos de lámparas rotas pueden servir como demostración de éxito para demostrar que una alta proporción de las lámparas en la entrega están rotas. y que la probabilidad de recibir una lámpara sin roturas es baja.
Ejemplo de distribución binomial
Supongamos que los últimos informes policiales indican que el 80% de todos los delitos menores no están resueltos y que hay al menos tres de esos delitos menores en su ciudad. Los tres delitos son todos independientes entre sí. Con base en los datos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se resuelva uno de los tres crímenes?
Solución
El primer paso para encontrar la probabilidad binomial es comprobar si la situación cumple las cuatro reglas de la distribución binomial:
- Número de juicios (n): 3 (número de delitos menores)
- Número de resultados mutuamente excluyentes: 2 (resueltos y no resueltos)
- Probabilidad de éxito (p): 0,2 (20% de los casos se resuelven)
- Estudios independientes: Sí
Próximo:
Determinamos la probabilidad de que uno de los delitos sea resuelto en los tres juicios independientes. Se presenta de la siguiente manera:
Intento 1 = Resuelto 1callesin resolver 2Dakota del Nortey sin resolver 3aprox
= 0,2 x 0,8 x 0,8
= 0,128
Intento 2 = Sin resolver 1calleresuelto 2Dakota del Nortey sin resolver 3aprox
= 0,8 x 0,2 x 0,8
= 0,128
Intento 3 = Sin resolver 1callesin resolver 2Dakota del Nortey resuelto 3aprox
= 0,8 x 0,8 x 0,2
= 0,128
Total (para los tres intentos):
= 0,128 + 0,128 + 0,128
= 0,384
Alternativamente, podemos aplicar la información de la fórmula de probabilidad binomial de la siguiente manera:
Dónde:
>En la ecuación, x = 1 y n = 3. La ecuación da una probabilidad de 0,384.
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