El «Teorema del Límite Central» es una poderosa herramienta en la estadística que nos permite comprender cómo se comportan las muestras de una población. A lo largo de este artículo, exploraremos en detalle qué es este teorema y cómo su aplicación puede ayudarnos a tomar decisiones más informadas y precisas en el análisis de datos. Prepárate para descubrir cómo una simple idea puede tener un impacto significativo en el mundo de las probabilidades y cómo nos acerca aún más a la comprensión de los fenómenos aleatorios. ¡Bienvenidos a este fascinante viaje hacia el corazón del Teorema del Límite Central!
«La media muestral de una variable aleatoria asume una distribución casi normal o normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande».
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¿Qué es el teorema del límite central (CLT)?
El teorema del límite central (CLT) es un concepto estadístico que establece que la distribución media muestral de una variable aleatoria asume una distribución casi normal o normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. En pocas palabras, el teorema establece que la distribución muestral de la media se acerca a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la forma de la distribución poblacional original.
A medida que el usuario aumenta el número de muestras a 30, 40, 50, etc., la gráfica de las medias muestrales avanza hacia una distribución normal. El tamaño de la muestra debe ser 30 o más para que se aplique el teorema del límite central.
Una de las partes más importantes del teorema es que la media de la muestra es la media de toda la población. Si calcula la media de varias muestras de la población, las suma y encuentra su promedio, el resultado es la estimación de la media poblacional.
Lo mismo se aplica cuando se utiliza la desviación estándar. Si calcula la desviación estándar de todas las muestras de la población, las suma y toma el promedio, el resultado es la desviación estándar de toda la población.
¿Cómo funciona el teorema del límite central?
El teorema del límite central forma la base de la distribución de probabilidad. Esto facilita comprender cómo se comportan las estimaciones de población cuando se someten a muestreos repetidos. Trazado en un diagrama, el conjunto muestra la forma de la distribución formada a partir de muestras de población repetidas.
A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias de las muestras repetidas tiende a normalizarse y parecerse a una distribución normal. El resultado sigue siendo el mismo independientemente de la forma original de la distribución. Esto se puede ilustrar en la siguiente figura:
De la figura anterior podemos deducir que a pesar de que la distribución inicialmente era uniforme, a medida que aumenta el valor de n (tamaño de la muestra), la distribución tiende a volverse normal.
El teorema del límite central no solo muestra la forma que tomará la media muestral, sino que también proporciona una descripción general de la media y la varianza de la distribución. La media muestral de la distribución es la media poblacional real de la que se tomaron las muestras.
La varianza de la distribución muestral, por otro lado, es la varianza de la población dividida por norte. Por lo tanto, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra de la distribución, menor será la varianza de la media muestral.
Ejemplo del teorema del límite central
Un inversor quiere estimar el rendimiento del índice bursátil ABC, que consta de 100.000 acciones. Debido al tamaño del índice, el inversor no puede analizar cada acción individualmente y, en cambio, opta por utilizar un muestreo aleatorio para obtener una estimación del rendimiento total del índice.
El inversor selecciona muestras de acciones, y cada muestra comprende al menos 30 acciones. Las muestras deben ser aleatorias y cualquier muestra previamente seleccionada debe reemplazarse en muestras posteriores para evitar sesgos.
Si la primera muestra produce un rendimiento promedio del 7,5%, la siguiente muestra puede producir un rendimiento promedio del 7,8%. Debido a la naturaleza del muestreo aleatorio, cada muestra produce un resultado diferente. A medida que aumenta el tamaño de la muestra con cada muestra, las medias muestrales comienzan a formar sus propias distribuciones.
La distribución de las medias muestrales se desplaza hacia la normalidad a medida que aumenta el valor de n. El rendimiento promedio de las acciones en el índice de muestra estima el rendimiento de todo el índice de 100.000 acciones, y el rendimiento promedio se distribuye normalmente.
Historia del teorema del límite central
La versión original del teorema del límite central fue acuñada por Abraham De Moivre, un matemático nacido en Francia. en uno (n Artículo En su método publicado en 1733, De Moivre utilizó la distribución normal para determinar el número de caras resultantes de múltiples lanzamientos de una moneda. El concepto era impopular en ese momento y rápidamente fue olvidado.
Sin embargo, en 1812, el concepto fue reintroducido por Pierre-Simon Laplace, otro famoso matemático francés. Laplace reintrodujo el concepto de distribución normal en su obra titulada “Théorie Analytique des Probabilités” en la que intentó aproximar la distribución binomial a la distribución normal.
El matemático descubrió que el promedio de variables aleatorias independientes tiende a seguir una distribución normal a medida que aumenta el número. En ese momento, los hallazgos de Laplace sobre el teorema del límite central atrajeron la atención de otros teóricos y académicos.
Más tarde, en 1901, Aleksandr Lyapunov, un matemático ruso, amplió el teorema del límite central. Lyapunov fue un paso más allá al definir el concepto en términos generales y demostrar cómo funcionaba matemáticamente. Las funciones características que utilizó para proporcionar el teorema han sido adoptadas en la teoría de probabilidad moderna.
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