La desigualdad de Chebyshev

En el marco de una sociedad en constante transformación, es necesario analizar y comprender los diferentes aspectos que la conforman, incluyendo uno de los más relevantes y actuales: la desigualdad. En este artículo exploraremos en profundidad la desigualdad de Chebyshev, una herramienta matemática esencial que nos permite entender y cuantificar la distribución desigual de la riqueza, los ingresos, la educación y otros recursos en una población. Descubriremos cómo esta medida nos ayuda a visualizar las disparidades sociales y a tomar acciones para construir un mundo más equitativo. ¿Estás listo para adentrarte en el fascinante mundo de la desigualdad de Chebyshev? ¡Acompáñanos en este viaje!

Una teoría de la probabilidad que garantiza que solo se encontrará una determinada fracción de valores dentro de una determinada distancia de la media de una distribución.

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¿Cuál es la desigualdad de Chebyshev?

La desigualdad de Chebyshev es una teoría de la probabilidad que garantiza que no más de una determinada fracción de valores estén presentes dentro de un determinado rango o distancia de la media para un amplio rango de distribuciones de probabilidad. En otras palabras, sólo una determinada fracción de los valores se encuentran dentro de una determinada distancia de la media de una distribución.

La fórmula para la fracción, para la cual no se puede exceder más de un cierto número de valores, es 1/K2; En otras palabras, 1/K2 de los valores de una distribución puede ser mayor o igual a K desviaciones estándar de la media de la distribución. Además, 1–(1/K2) de los valores de una distribución deben estar dentro de K desviaciones estándar de la media de la distribución, pero sin incluirlas.

Resumen

  • La desigualdad de Chebyshev es una teoría de la probabilidad que garantiza que sólo una determinada fracción de valores se encuentra dentro de una determinada distancia de la media de una distribución.
  • La fracción para la que no se puede superar más de un determinado número de valores se representa por 1/K2.
  • La desigualdad de Chebyshev se puede aplicar a una variedad de distribuciones siempre que la distribución contenga una media y una varianza definidas. En la práctica es similar a la regla 65-95-99,7.

Comprender la desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev es similar a la regla 68-95-99,7; Sin embargo, la última regla sólo se aplica a distribuciones normales. La desigualdad de Chebyshev es más amplia; Se puede aplicar a cualquier distribución siempre que la distribución contenga una varianza y una media definidas.

La desigualdad de Chebyshev establece que dentro de dos desviaciones estándar de la media hay el 75% de los valores y dentro de tres desviaciones estándar de la media hay el 88,9% de los valores. Esto se aplica a una amplia gama de distribuciones de probabilidad, no sólo a la distribución normal.

Sin embargo, cuando se aplica a la distribución normal, la desigualdad de Chebyshev es menos precisa que la regla 65-95-99,7; Sin embargo, es importante recordar que la teoría se aplica a una gama mucho más amplia de distribuciones. Cabe señalar que las desviaciones estándar iguales o menores que uno no son válidas para la fórmula de desigualdad de Chebyshev.

La historia de la desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev fue demostrada en 1867 por Pafnuty Chebyshev, un matemático ruso. Fue descubierto en 1853 por el estadístico francés Irénée-Jules Bienaymé; Sin embargo, no hubo evidencia que respaldara la teoría expuesta en la declaración. Después de que Pafnuty Chebyshev demostrara la desigualdad de Chebyshev, uno de sus alumnos, Andrey Markov, proporcionó más pruebas de la teoría en 1884.

La declaración de desigualdad de Chebyshev

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La desigualdad de Chebyshev

Ejemplo práctico

Supongamos que un activo se selecciona aleatoriamente de una población de activos. El rendimiento promedio de la población de activos es del 12% y la desviación estándar de la población de activos es del 5%. Para calcular la probabilidad de que un activo seleccionado aleatoriamente de esta población tenga un rendimiento inferior al 4% o superior al 20%, se puede aplicar la desigualdad de Chebyshev.

Debido a que la cantidad de información es limitada y solo se proporcionan la media y la desviación estándar de una distribución, no se puede determinar la probabilidad exacta de este escenario; por tanto, se aplica la desigualdad de Chebyshev. A continuación se muestra la aplicación de la teoría:

|X – µ| ≥K
P(|X – µ|≥K) ≤ (σ2/k2) = (5%2/8%2)
P(|X – µ|≥K) ≤ (σ2/k2) = 39,06%

Dónde:

  • Desviación Estándar: 5%
  • Significar: 12%
  • k: 8.º %

Por tanto, la probabilidad de un activo es regresar representa menos del 4% o más del 20% del activo total, que tiene un rendimiento medio del 12% con una desviación estándar del 5%, es inferior al 39,06% según la desigualdad de Chebyshev.

Más recursos

Gracias por leer la guía de Finanzas sobre la desigualdad de Chebyshev. Para avanzar aún más en su carrera, los siguientes recursos adicionales de CFI le resultarán útiles:

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